Дифференцирование сложной функции

R
1. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция z=f(x;y) определена в области GÌ , а х и у сами являются функциями от переменной t: х=φ(t), у=ψ(t). Пусть t изменяется в промежутке так, что (х;у)=(φ(t);ψ(t))ÎG. В этом случае функция

z=f(φ(t);ψ(t))=F(t) (1)

является сложной функцией одной переменной t.

Теорема 1.Если существуют производные , в точке t и существуют непрерывные частные производные , в соответствующей точке (х;у)=(φ(t);ψ(t)), то существует производная от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:

. (2)

Доказательство.

Придадим переменной t приращение тогда x и y получат соответствующие приращения и , а Дифференцирование сложной функции функция z=f(x;у) получит приращение . Так как z=f(x;у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:

= , где , .

Разделим равенство на :

. (3)

Пусть . Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда при . Значит, и , при . Т.к. функции x и у по условию имеют производные и в точке t, то

, .

Это означает, что правая часть (3) имеет предел при :

.

Тогда существует предел и левой части (3) при : .

Переходя в (3) к пределу при Дифференцирование сложной функции , получим (2).

Частный случай: , то есть . Тогда

.

R
Пример 1.z(x,y)= , x=e , y=ln(1-t). Найти .

D z определена на , . z является функцией от t:

(*) z(t)= , .

Вычислим по формуле (2).

.

Но можно найти и непосредственно из (*). D

Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.

Пример2. .

D .

Непосредственно отсюда вычислить сложно.

(подставить вместо х и у выражения через t). D

Пример 3. .

D Пусть , тогда z=f(x,y), х=φ(t), у=ψ(t),

. D

Пусть теперь функция z=f(x,y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v: . Причём u Дифференцирование сложной функции и v определены в такой области Н, что "(u,v) Н точка (х,у)= ÎG. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:

. (4)

Теорема 2.Если существуют частные производные на H и непрерывные частные производные на области G, то существуют частные производные от сложной функции (4) на H , которые могут быть вычислены по формулам:

(5)

. (6)

Доказательство.

Пусть (u,v) Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы

.

Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v: к которой можно применить теорему 1, получим (6).

Пример 4. Найти частные производные сложной функции .

D Дифференцирование сложной функции Обозначим - промежуточные переменные, x,y,z – независимые переменные.

,

,

. D

2. Инвариантность формы дифференциала

I. Пусть z=f(x,y), где x, y – независимые переменные, определена в области G. Пусть на G функция f имеет непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема и её дифференциал

, (1)

где , т.е. dx, dy – произвольные числа не зависящие от x и y.

II. Пусть теперь z является сложной функцией от переменных u и v, т.е. z=f(x,y), , . Независимые переменные u и v определены в области Н так, что . Тогда . Пусть на Н существуют непрерывные частные производные и на G - непрерывные частные производные и тогда существуют Дифференцирование сложной функции непрерывные частные производные и от сложной функции z=h(u,v):



, (2)

. (3)

Тогда сложная функция z=h(u,v) дифференцируема и её дифференциал

, (4)

du, dv – произвольные числа.

Подставляя (2) и (3) в (4), получим

.

Итак, , (5)

dx – дифференциал функции , ,

dy - дифференциал функции , .

Сравнив (1) и (5), можем сделать вывод. Дифференциал функции f имеет одну и ту же форму относительно x и y: , как в случае, когда x и y - независимые переменные, так и в случае, когда x и y – функции от других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала. Хотя форма (1) инвариантна (т.е. неизменна), но смысл символов dx и dy не один и тот же. Если Дифференцирование сложной функции x и y - независимые переменные, то dx и dy – числа, не зависящие от x, y. Если же x и y – функции, то dx и dy – дифференциалы этих функций.

Итак, так как форма (1) инвариантна, то полный дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).

Замечание.Если x и y – независимые переменные, то существуют две формы записи дифференциала: . Если x и y функции, то .


documentadnjnif.html
documentadnjusn.html
documentadnkccv.html
documentadnkjnd.html
documentadnkqxl.html
Документ Дифференцирование сложной функции